Pemodelan Matematika dan Penyelesaian Masalah Dalam Teknik

Metode numerik adalah teknik penyelesaaiaan masalah matematika dengan cara memformuasikan masalah sedemikian rupa sehingga bisa diselesaikan dengan operasi aritmetika/aljabar (tambah, kurang, bagi, dan kali). Meskipun terdapat banyak jenis metode numerik, namun pada dasarnya metode-metode itu memilki dasar karaktersitik umum. Metode numerik merupakan metode penyelesaian yang menghasilkan jawaban pendekatan, selalu meliputi jumlah perhitungan arimetika yang banyak, berulang-ulang, dan menjenuhkan. Namun, dengan pesatnya perkembangan komputer digital, pekerjaaan yang menjenuhkan tadi dapat diselesaikan dengan bantuan komputer, sehingga peranan metode numerik dalam penyelesaian masalah bidang teknik belakangan ini sangat meningkat.

3.1. Pemodelan Matematika

Sebuah model matematika dapat didefinisikan secara luas sebagai formulasi persamaan yang mengungkapkan fitur penting dari sistem fisik atau proses dalam istilah matematika. Dalam arti yang sangat umum, dapat direpresentasikan sebagai hubungan fungsional dalam bentuk.

dengan dependent variable adalah karakteristik yang biasanya mencerminkan perilaku atau keadaan dari sistem dan bersifat terikat pada vaiabel yang lainnya .  Independent variable adalah variabel yang dapat berdiri sendiri tanpa dipengaruhi oleh variabel lainnya dan biasanya merupakan suatu dimensi, seperti ruang dan waktu. Parameter adalah sesuatu yang mencerminkan sifat sistem atau komposisi. Forcing function adalah sesuatu fungsi yang mempunyai pengaruh eksternal yang bekerja pada sistem.

Sebagai contoh, hukum Newton II yang menyatakan bahwa kecepatan perubahan momentum sebuah benda sama dengan resultante gaya yang bekerja padanya dan telah terbukti bahwa hukum ini berlaku secara umum. Pernyataan hukum Newton II dalam persamaan matematika ditulis dengan persamaan:

dengan F = gaya (N, or kg m/s²), m = massa (kg), dan a = percepatan (m/s²)

Jika persamaan 3.2 direpresentasikan pada persamaan 3.1 maka dapat dituliskan menjadi

dengan a = dependent variabel, F = forcing function, dan m = parameter yang mewakili properti pada sistem. Pada contoh kasus persamaan 3.3 tidak terdapat independent variable, hal ini dikarenakan tidak dapat diprediksikan keterkaitan dependent variable (percepatan = a) terhadap perubahan ruang dan waktu.

Persamaan 3.3 memilki sejumlah karakteristik khusus suatu model matematika dalam bidang fisika yaitu

1. Menjelaskan suatu proses atau sistem alami dalam istilah matematika.
2. Menunjukkan suatu idealisasi dan simplifikasi kenyataan yakni mengabaikan perincian proses alami yang sepele dan memfokuskan pada maniifestasi yang penting. Artinya, dalam hukun II tidak termasuk pengaruh yang kurang penting.
3. Mengandung hasil-hasil yang dapat ditiru sehingga dapat dipakai untuk tujuan perkiraan (ramalan). Misalnya, jika gaya pada benda dan massanya ditentukan, persamaan 3.3 dapat dipakai untuk memperkirakan percepatan.

Karena bentuk aljabar sederhana, solusi dari persamaan. 3.2 dapat diperoleh dengan mudah. Namun, model matematika lainnya dari fenomena fisik mungkin jauh lebih kompleks dan tidak dapat diselesaikan tepat atau memerlukan teknik matematika lebih canggih dari aljabar sederhana untuk solusi penyelesaiannya. Untuk menggambarkan mengambarkan model matematika yang lebih kompleks hukum kedua Newton dapat digunakan untuk menyelesaikannya. Sebagai contoh dalam kasus gerak jatuh bebas seorang penerjun payung yang dipengaruhi oleh gaya tarik ke bawah oleh gaya grafitasi (F_D) dan gaya tarik ke atas karena gaya yang timbul dari peralawanan udara (F_U). Dalam kasus ini percepatan dapat ditinjau sebagai perubahan kecepatan pada setiap periode waktu  dan jika disubtitusikan pada persamaan 3.3 didapatkan persamaan

dengan  adalah kecepatan (m/s) dan  adalah waktu (s). Dengan demikian, massa dikalikan dengan laju perubahan kecepatan sama dengan gaya total yang bekerja pada tubuh. Jika gaya bersih positif, objek akan dipercepat. Jika negatif, objek akan diperlambat. Jika gaya total adalah nol, kecepatan benda akan tetap pada tingkat yang konstan. Selanjutnya gaya total dapat dinyatakan dalam suatu variabel dan parameter yang terukur. Sedangkan gaya total itu sendiri merupakan penjumlahan dari gaya tarik ke bawah (F_D) dan gaya tarik ke atas (F_U).

Jika gaya turun ke bawah bernilai positif, maka pada hukum ke dua gaya turun ke bawah dapat dinyatakan sebagai

dengan g = konstanta gravitasi atau percepatan gravitasi yang bernilai 9,8 m/s².

Gaya ke atas akibat hambatan udara dapat dinyatakan dalam berbagai persamaan. Pendekatan yang paling sederhana adalah dengan mengasumsikan bahwa gaya ke atas sebanding dengan kecepatan.

dengan c = drag koefisien (kg/s). Dengan demikian, semakin besar kecepatan benda jatuh maka akan semakin besar gaya ke atas akibat hambatan udara. Parameter c menyumbang properti dari benda jatuh, seperti bentuk atau kekasaran permukaan, yang mempengaruhi hambatan udara. Untuk kasus ini, c mungkin fungsi dari jenis jumpsuit atau peralatan yang digunakan oleh penerjun selama terjun bebas.

Gaya total adalah selisih dari gaya ke atas dan gaya jatuh ke bawah. Sehingga jika dikombinasikan persamaan 3.4 hingga persamaan 3.7 akan dihasilkan

jika disederhanakan menjadi

Persamaan 3.9 adalah model yang berhubungan antara percepatan benda jatuh dengan gaya yang bekerja padanya. Pada persamaan 3.9 diperoleh penyelesain dengan metode turunan  atau diferensial (dv/dt), penyelesain ini berbeda dengan penyelesaian pada persamaan 3.3 yang dapat dieksekusi secara langsung. Hal ini dikarenakan pada kasus benda jatuh bebas tidapat diselesaikan dengan manipulasi aljabar sederhana. Sebaliknya, teknik yang lebih maju seperti kalkulus harus diterapkan untuk mendapatkan solusi analitis yang tepat. Sebagai contoh pada kondisi awal penerjun (v=0 dan t=0), didapatkan persamaan

dengan v(t) = dependent variable, t = independent variable, c dan m = parameter, dan g = forcing function.

Persamaan 3.10 adalah cara penyelesaian analitis, karena persis memenuhi persamaan diferensial asli. Tetapi terdapat banyak permasalahan yang tidak dapat diselesaikan secara analitis. Dalam banyak kasus satu-satunya cara untuk mempermudah penyelesaian adalah dengan cara numerik untuk mendekati nilai analitis. Sebagai contoh hukum Newton dua jika diselesaikan dengan cara numerik akan didapatkan persamaan

dengan  dan  adalah diferensial dari kecepatan dan waktu yang masing-masing dihitung lebih dari interval terbatas,  adalah kecepatan pada kondisi awal t_i, dan  adalah kecepatan pada waktu t_i+1. Persamaan 3.11 biasa disebut finite divided difference approximation yang diturunkan pada waktu t_i. Jika disubtitusikan pada persamaan 3.9 maka didapatkan

persamaan tersebut jika disusun ulang akan menghasilkan

Supaya lebih memahami perhatikan contoh sebagai berikut:
Seseorang terjun dari ketinggian dengan berat tubuh 68,1 kg, hitung kecepatan terjun orang tersebut jika diketahui drag koefisien yang terjadi sebesar 12,5 kg/s dan percepatan gravitasi sebesar 9,8 m/s².
a. Penyelesaian analitis sesuai persamaan 3.10
Persamaan yang digunakan

Pada cell E7 buat formula = $E$2*$E$4/$E$3*(1-EXP(-$E$3/$E$4*D7)) dan pada Cell D7 sampe D14 dimasukkan nilai 0-14 dengan step 2, sehingga didapatkan nilai

Tabel 3.1 Hasil Penyelesaian Analitis

b. Penyelesaian numeris sesuai persamaan 3.12
Persamaan yang digunakan
 Dapat diselesaikan menggunakan VBA, pada excel

Sub num()
ti = 0
v = 0
delt = 2
g = 9.8
c = 12.5
m = 68.1
n = 7
For i = 0 To n – 1
If i = 0 Then
v = 0
ti = 0
Else
v = v + (g – c / m * v) * delt
ti = i * delt
End If
Worksheets(“Sheet2”).Cells(i + 2, 1) = ti
Worksheets(“Sheet2”).Cells(i + 2, 2) = v
Next i
End Sub

Hasil run program didapatkan

Tabel 3.2. Hasil Penyelesaian Numeris

c. Berdasarkan penyelesaian pada poin a dan b maka didapatkan grafik sesuai dengan gambar 3.2.

3.2. Pemrograman Komputer

Program komputer hanyalah satu set instruksi yang mengarahkan komputer untuk melakukan tugas tertentu. Banyak aplikasi yang dapat dihasilkan dalam pemanfaatan pemrograman komputer, salah satunya adalah perhitungan numeris dalam penyelesaian permasalahan dalam dunia teknik. Memandang dari sudut prespektif tersebut, maka pembuatan pemrograman komputer terdiri dari beberapa topik antara lain:

a. Representasi informasi sederhana (konstanta, variabel, dan deklarasi tipe).
b. Representasi informasi lanjutan (struktur data, array, dan catatan).
c. Rumus matematika (tugas, aturan prioritas, dan fungsi intrinsik).
d. Input/output.
e. Representasi logis (urutan, seleksi, dan pengulangan).
f. Modular programming (fungsi dan subrutin).

Setiap pembuatan program terutama untuk penyelesaian dalam masalah teknis sangat diperlukan penulisan yang terorganisir dan struktur yang baik. Untuk keperluan tersebut maka diperlukan sebuah metoda yang biasa disebut dengan istilah algoritma. Algoritma adalah urutan langkah-langkah logis penyelesaian masalah yang disusun secara sistematis dan logis. Kata logis merupakan kata kunci dalam algoritma. Langkah-langkah dalam algoritma harus logis dan harus dapat ditentukan bernilai salah atau benar. Dalam beberapa konteks, algoritma adalah spesifikasi urutan langkah untuk melakukan pekerjaan tertentu. Pertimbangan dalam pemilihan algoritma adalah, pertama, algoritma haruslah benar. Artinya algoritma akan memberikan keluaran yang dikehendaki dari sejumlah masukan yang diberikan. Tidak peduli sebagus apapun algoritma, kalau memberikan keluaran yang salah, pastilah algoritma tersebut bukanlah algoritma yang baik.
Pertimbangan kedua yang harus diperhatikan adalah harus mengetahui seberapa baik hasil yang dicapai oleh algoritma tersebut. Hal ini penting terutama pada algoritma untuk menyelesaikan masalah yang memerlukan aproksimasi hasil (hasil yang hanya berupa pendekatan). Algoritma yang baik harus mampu memberikan hasil yang sedekat mungkin dengan nilai yang sebenarnya.
Ketiga adalah efisiensi algoritma. Efisiensi algoritma dapat ditinjau dari dua hal yaitu efisiensi waktu dan memori. Meskipun algoritma memberikan keluaran yang benar (paling mendekati), tetapi jika kita harus menunggu berjam-jam untuk mendapatkan keluarannya, algoritma tersebut biasanya tidak akan dipakai, setiap orang menginginkan keluaran yang cepat. Begitu juga dengan memori, semakin besar memori yang terpakai maka semakin buruklah algoritma tersebut. Dalam kenyataannya, setiap orang bisa membuat algoritma yang berbeda untuk menyelesaikan suatu permasalahan, walaupun terjadi perbedaan dalam menyusun algoritma, tentunya mengharapkan keluaran yang sama. Pada intintinya algoritma yang terstruktur dengan baik yang selalu lebih mudah untuk debug dan tes, sehingga program-program yang dibuat akan membutuhkan waktu yang lebih singkat untuk dikembangkan, diuji, dan diupdate.
Algoritma dapat digambarkan dengan banyak notasi, termasuk bahasa alamiah, pseudokode, diagram alur, bagan drakon, bahasa pemrograman atau tabel kontrol. Ekspresi bahasa alamiah terhadap algoritma lebih banyak dan rancu, dan jarang digunakan untuk algoritma yang kompleks dan teknis. Pseudocode, diagram alur, bagan drakon, dan tabel kontrol adalah cara yang terstruktur untuk menggambarkan algoritma yang mencegah banyaknya kerancuan pada pernyataan-pernyataan bahasa alamiah. Bahasa pemrograman ditujukan untuk mengekspresikan algoritma dalam sebuah bentuk yang dapat dieksekusi oleh komputer, tapi sering kali digunakan sebagai suatu cara untuk menentukan atau mendokumentasikan algoritma. Beberapa simbol yang digunakan dalam diagram alir algoritma dapat dilihat pada tabel 3.3.

Tabel 3.3. Simbol Diagram Alir Algoritma

Sebagai contoh untuk lebih memahami penggunaan diagram alir algoritma perhatikan contoh sebagai berikut:
Hitung volume sebuah balok yang mempunyai panjang= p, lebar= l, tinggi= t, dan Volume = V. Rumus Volume Balok = Panjang x Lebar x Tinggi. Algoritma yang akan dibuat:
– Mulai Perhitungan
– Masukkan Nilai p
– Masukkan Nilai l
– Masukkan Nilai t
– Hitung Nilai V=p x l x t
– Tampilkan Hasil Perhitungan
– Selesai

3.3. Penyelesaian Matematika dengan VBA

Secara prinsip penggunaan VBA pada Excel adalah untuk mempercepat proses perhitungan secara metematika. Pada VBA memiliki beberapa fungsi operasi yang agak berbeda dengan Excel. Berikut perbandingan fungsi operasi yang digunakan pada Excel dan VBA akan ditampilkan pada tabel 3.4.

Tabel 3.4. Fungsi Operasi Excel dan VBA

Penggunaan VBA yang dikombinasikan dengan Excel akan sangat memudahkan dalam penyelesaian masalah matematika. Kemudahan yang diperoleh adalah bahasa VBA yang kita tulis akan ditampilkan pada kolom dan baris excel yang selanjutnya dapat dibuat sebuah grafik penyelesaian. Sebagai contoh adalah penyelesaian kecepatan penerjun payung sesuai persaamaan 3.12. tahap awal penyelesaian adalah dengan membuat kondisi awal persamaan seperti gambar 3.4.

Sebagai perbandingan nilai kebenaran perhitungan menggunakan VBA, maka dilakukan perhitungan secara analitis. Masukkan formula pada cell C8 =9,8*$B$3/$B$4*(1-EXP(-$B$4/$B$3*A8)), copy cell C8 dan paste pada C9, maka akan dihasilkan nilai pada cell C9 sebesar 16,405 m/s.
Pada perhitungan menggunakan VBA kode yang dimasukkan adalah sebagai berikut:

Option Explicit
Public Function Euler(dt, ti, tf, yi, m, cd)
Dim h As Double, t As Double, y As Double, dydt As Double

t = ti
y = yi
h = dt
Do
If t + dt > tf Then
h = tf – t
End If
dydt = dy(t, y, m, cd)
y = y + dydt * h
t = t + h
If t >= tf Then Exit Do
Loop
Euler = y

End Function

Selanjutnya memasukkan nilai persamaan Euler dengan kode sebagai berikut:

Function dy(t, v, m, cd)
Const g As Double = 9.8
dy = g – (cd / m) * v
End Function

Langkah terakhir adalah menjalankan kode yang telah dibuat pada VBA pada kolom dan baris Excel. Pada cell B9 masukkan formula =euler($B$5;A8;A9;B8;$B$3;$B$4), sehingga dihasilkan nilai 16,406 m/s. Bandingkan nilai yang diperoleh dengan hasil penyelesaian menggunakan cara analitis degan menggunakan grafik seperti pada gambar 3.5.